对于一维实随机变量X，设它的累积分布函数是
F
X
(
x
)
{\displaystyle F_{X}(x)}
。如果存在可测函数
f
X
(
x
)
{\displaystyle f_{X}(x)}
，满足：
∀
−
∞
<
a
<
∞
,
F
X
(
a
)
=
∫
−
∞
a
f
X
(
x
)
d
x
{\displaystyle \forall -\infty 那么X 是一个连续型随机变量，并且 f X ( x ) {\displaystyle f_{X}(x)} 是它的概率密度函数。[2] 性质 编辑 连续型随机变量的概率密度函数有如下性质： ∀ − ∞ < x < ∞ , f X ( x ) ≥ 0 {\displaystyle \forall -\infty ∫ − ∞ ∞ f X ( x ) d x = 1 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f_{X}(x)\,dx=1} ∀ − ∞ < a < b < ∞ , P [ a < X ≤ b ] = F X ( b ) − F X ( a ) = ∫ a b f X ( x ) d x {\displaystyle \forall -\infty 如果概率密度函数 f X ( x ) {\displaystyle f_{X}(x)} 在一点 x {\displaystyle x} 上连续，那么累积分布函数可导，并且它的导数： F X ′ ( x ) = f X ( x ) {\displaystyle F_{X}^{\prime }(x)=f_{X}(x)} 由于随机变量X的取值 P [ a < X ≤ b ] {\displaystyle \mathbb {P} \left[a 只取决于概率密度函数的积分，所以概率密度函数在个别点上的取值并不会影响随机变量的表现。更准确来说，如果一个函数和X的概率密度函数取值不同的点只有有限个、可数无限个或者相对于整个实数轴来说测度为0（是一个零测集），那么这个函数也可以是X的概率密度函数。 连续型的随机变量取值在任意一点的概率都是0。作为推论，连续型随机变量在区间上取值的概率与这个区间是开区间还是闭区间无关。要注意的是，概率 P [ X = a ] = 0 {\displaystyle \mathbb {P} \left[X=a\right]=0} ，但 { X = a } {\displaystyle \{X=a\}} 并不是不可能事件。[2]